HỌC TOÁN NÂNG CAO NHƯ THẾ NÀO

Toán nâng cao là 1 chủ đề rất hấp dẫn. Là người học thì bạn nào chả muốn làm những bài toán khó mà không phải ai cũng giải được. Là người dạy thì ai chả muốn có nhiều học sinh giỏi. Nhưng học toán nâng cao thế nào để thực sự làm chủ và tích lũy được kiến thức, dùng nó làm bậc thang để bước tiếp thì không hề đơn giản

Ta hãy cùng giải 1 bài toán cụ thể

Trong ảnh bên dưới, đồng hồ chỉ hơn 12h. Có khi nào xảy ra trường hợp, khi kim phút chạy đến vị trí hiện tại của kim giờ thì kim giờ cũng chạy đến vị trí hiện tại của kim phút (nghĩa là 2 kim đảo vị trí cho nhau). Nếu có thì điều đó sẽ xảy ra chính xác sau bao lâu?

Đây là điều có thể xảy ra trong thực tế, và bài toán thực tế này thoạt đầu làm ta khá bối rối. Chúng ta không biết bắt đầu từ đâu, không biết ghép nó vào dạng toán nào

Làm rõ đề bài

Điều đầu tiên làm chúng ta bối rối chính là câu hỏi kép với chữ “nếu”, và để gỡ rối ta giả sử “điều đó” chắc chắn sẽ xảy ra. Như vậy ta chỉ còn phải tính toán nó sẽ xảy ra sau bao lâu

Khi vẫn chưa tìm được đáp số chính xác, ta thử tìm đáp số gần đúng. Hiện tại đang là 12h5’ (gần đúng), và sẽ là 1h khi 2 kim đảo vị trí cho nhau (cũng gần đúng luôn), vậy “điều đó” sẽ xảy ra sau 55 phút

55 phút chưa phải là đáp số chính xác nhưng là 1 định hướng rất tốt. Thứ nhất, nó cho chúng ta biết, đáp số chính xác chỉ loanh quanh trong khoảng đó; thứ 2, khi không cần quá chính xác ta có thể lấy ngay 55 phút làm đáp số

Tiếp theo ta cùng tìm hiểu, kim phút và kim giờ chạy nhanh chậm như thế nào? Ta thấy 1h thì kim phút chạy được 1 vòng, mà 1 vòng có 12 số nên thời gian để kim phút chạy được 1 số là 5 phút. Ta viết

Kim phút chạy: 1 vòng = 1h; 1 số = 5 phút Kim giờ chạy: 1 số = 1h Ta còn có nhận xét, khi kim giờ chạy được 1 số thì kim phút chạy được 1 vòng = 12 số, tức là kim phút chạy nhanh gấp 12 lần kim giờ

Bây giờ đã rõ ràng hơn 1 chút, để tính được sau bao lâu “điều đó” sẽ xảy ra ta chỉ cần tính kim phút chạy được bao nhiêu số, hoặc kim giờ chạy được mấy phần của 1 số

Đơn giản hóa bài toán

Tiếp theo ta xét điều kiện của bài toán, kim giờ và kim phút đảo vị trí cho nhau. Điều kiện nghe rất rõ ràng nhưng vì 2 kim đồng thời chuyển động nên ta có 1 chút mơ hồ, khi kim phút di chuyển đến vị trí hiện tại của kim giờ thì kim giờ đã không còn ở đấy nữa và ngược lại.

Để gỡ rối ta giả sử 2 kim không chuyển động đồng thời mà nối tiếp, giống như chạy tiếp sức, kim phút di chuyển đến vị trí hiện tại của kim giờ thì dừng lại để kim giờ di chuyển tiếp đến vị trí hiện tại của kim phút. Kết quả là như nhau, nhưng cách di chuyển này giúp ta hình dung rõ hơn và bằng trực giác ta phát hiện

Thứ nhất, tổng quãng đường di chuyển của 2 kim đúng bằng 1 vòng = 12 số. Thứ 2, đây là dạng toán tổng tỷ! tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số. Ta có thể vẽ sơ đồ để giải, hoặc có thể giải bài toán bằng cách lập phương trình

via GIPHY

Lời giải

Gọi x là quãng đường di chuyển của kim giờ, khi đó quãng đường di chuyển của kim phút bằng 12x, ta có phương trình x + 12x = 12, suy ra x = 12/13 số, nghĩa là “điều đó” sẽ xảy ra sau 12/13 h = 55,38 phút

Như vậy, nếu “điều đó” xảy ra thì nó sẽ xảy ra sau 55,38 phút. Đến đây ta cũng nhận ra, điều đó chắc chắn sẽ xảy ra trong trường hợp khoảng cách ban đầu giữa 2 kim (từ kim giờ đến kim phút, theo chiều quay kim đồng hồ) bằng 12/13 số. Vậy ta sẽ đi tìm vị trí chính xác của 2 kim khi khoảng cách giữa chúng chính xác bằng 12/13 số. Xin dành lại bài toán này cho các bạn giải nhé :)

Toán nâng cao - học thế nào để thực sự mang lại lợi ích

Lời giải trình bày ở trên tương đối ngắn gọn, với những phát hiện bởi trực giác. Phát hiện thứ nhất (về tổng quãng đường di chuyển của 2 kim) hoàn toàn không dễ thấy, thậm chí là không thể thấy khi ta mới bắt tay giải bài toán. Trực giác hoàn toàn bất lực khi lời giải còn quá xa, mọi thứ còn quá mơ hồ

Ngược lại, phát hiện thứ 2 (về toán tổng tỷ) hoàn toàn không khó, nhưng nó chỉ không khó với những ai đã làm rất nhiều bài toán tổng tỷ, đã giải nhuần nhuyễn dạng toán này. Đó không phải là trực giác ban sơ của mỗi người, nó là trực giác được nối dài bằng từ khóa Toán tổng tỷ, và nó chỉ có được sau nhiều giờ lao động giải toán

Học toán, làm toán không thể thiếu trực giác. Nhưng chỉ 1 trực giác thôi là chưa đủ, cho dù chúng ta có thể luyện tập, mài giũa cho thêm phần sắc bén. Ngoài trực giác, chúng ta cần có phương pháp, để gỡ rối, để làm rõ vấn đề, để trợ giúp trực giác 1 cách hữu hiệu nhất. Trực giác rất chính xác, rất nhạy, nhưng rất “ngắn”, nó không thể nhìn ra lời giải còn xa xôi, mờ mịt

Trong phần lớn các trường hợp, 1 bài toán khó bằng 2 bài dễ cộng lại. Nó rõ ràng như A + B = C. Vậy để giải được C trước tiên ta hãy giải A và B. Đừng chê A, B là dễ, đừng hời hợt, đừng làm ra đáp số cho xong. Vì cuối cùng, cái chúng ta cần không phải là đáp số, mà là kiến thức được khái quát nên từ những A, B cụ thể đó

Và học toán nâng cao không phải là căng mắt để cố nhìn xa hơn, mà là học cách biến cái phức tạp thành đơn giản, đưa những bài toán chưa giải được về những bài đã có lời giải!