Hồi đi học, từ lớp 3 tôi bắt đầu làm quen với toán nâng cao. Tôi nhớ, gần như bài giải nào cũng bắt đầu bằng hai chữ ta thấy, chính những ta thấy đấy đã cuốn hút tôi, làm tôi yêu toán.
Bài toán 1
Tôi nhớ 1 bài toán lớp 5 : có 2 đại đội, đóng ở 2 điểm A và B, cách nhau 18km. 2 đại đội xuất phát cùng một lúc, đi về hướng gặp nhau, đại đội A đi với vận tốc 4km/h, đại đội B 5km/h. Đồng thời cũng có một liên lạc viên xuất phát cùng đại đội A, đi xe đạp với vận tốc 12km/h, có nhiệm vụ chuyển thông tin giữa hai bên trong suốt thời gian hành quân, khi gặp đại đội B thì anh lại lập tức quay trở lại gặp đại đội A, và cứ thế cho đến khi hai đại đội gặp nhau. Hỏi quãng đường liên lạc viên đi được là bao nhiêu km?
Ý nghĩ đầu tiên đến với tôi là ta cứ lần lượt tính, từ lúc xuất phát đến lúc gặp đại đội B thì người liên lạc đi được đoạn đường bao nhiêu, cũng xác định được đại đội A đang ở đâu tại thời điểm đó, và cứ thế tiếp tục tính cho đến khi hai đại đội gặp nhau, vì vận tốc của các bên đều được biết. Nhưng khi đặt phép tính thì thấy cũng không dễ dàng vì số rất lẻ, lắt nhắt, nản hơn nữa là không biết phải tính đến bao nhiêu lần như vậy mới tới lúc hai đại đội gặp nhau.
Biết là có mẹo mực gì đây, vì là toán nâng cao, tôi sốt ruột mở phần bài giải: ta thấy 
, thời gian người liên lạc di chuyển cũng chính là thời gian di chuyển của hai đại đội! Chỉ với một ta thấy đó thôi ta có thể tách bài toán này thành hai bài toán, bài thứ nhất là tính thời gian hai đại đội di chuyển từ hai địa điểm xuất phát đến lúc gặp nhau khi biết độ dài quãng đường và vận tốc di chuyển của cả hai đại đội, và bài thứ hai là tính quãng đường di chuyển của người liên lạc khi biết vận tốc và thời gian di chuyển. Cả hai bài đều dễ dàng giải được bằng những công thức có sẵn, cái ta thấy ở đây đã kết hợp chúng lại một cách độc đáo để tạo nên một bài toán rất đẹp.
Bài toán 2
Hồi lớp 8, tình cờ trong số báo Toán học tuổi trẻ cũ tôi tìm thấy bài toán đã mang lại giải đặc biệt cho Lê Bá Khánh Trình trong kỳ thi toán quốc tế năm 1979 (giờ thì thầy Trình đã thường xuyên dẫn các bạn học sinh đi thi quốc tế rồi ). Bài toán như sau (xem hình vẽ):
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn tâm O1, O2 giao nhau tại A và B. Hai điểm A1, A2 đồng thời di chuyển từ A với tốc độ không đổi, mỗi điểm theo một đường tròn và cùng hướng. Hai điểm trở lại A cùng một lúc (tức là sau một vòng). Chứng minh rằng tồn tại một điểm P cố định trong mặt phẳng sao cho hai điểm chuyển động A1, A2 luôn cách đều P.
Vì chỉ là bài toán hình học phẳng nên tôi hào hứng bắt tay vào chứng minh. Nhưng cái khó của bài toán là A1, A2 lại chuyển động, mà tôi thì lại chỉ quen làm các bài toán với các điểm cố định. Tất nhiên, hồi cấp 2 đã có những bài quỹ tích, nhưng trước khi những điểm đó chuyển động (theo quỹ tích), thì chúng đứng yên .
Thế là tôi lại phải mở phần bài giải, và một lần nữa: ta thấy!!, hai điểm A1, A2 chuyển động cùng hướng và trở về điểm A cùng một lúc, như vậy hai điểm chuyển động với cùng một vận tốc góc, nghĩa là hai góc AO1A1 và AO2A2 luôn bằng nhau. Chỉ một ta thấy của Lê Bá Khánh Trình đã biến bài toán thi quốc tế trở thành bài toán lớp 8, không quá khó.
Bài toán đố thú vị
Cấp 3, lớp 11, thầy giáo giao cho chúng tôi một bài toán: 6h sáng, một nhà sư khởi hành đi từ chùa trên núi xuống một chùa khác dưới núi. 6h sáng hôm sau ông lại khởi hành ngược trở lại. Trên đường đi, tại một điểm, ông ngạc nhiên nhận ra là ngày hôm qua mình cũng tới đây vào đúng thời điểm này. Chứng minh rằng, không phụ thuộc vào tốc độ đi nhanh chậm của nhà sư ở mỗi chiều đi về, sẽ luôn tồn tại một điểm như vậy trên đường đi.
Bài toán thật ngộ nghĩnh, cảm giác là lời giải chỉ quanh quất đâu đây, nhưng rồi loay hoay một hồi vẫn không tìm ra manh mối nào cả, đành phải chờ lời giải của thầy vào giờ toán hôm sau. Và đây là cái chúng tôi chờ đợi: giả sử, vào 6h sáng cái ngày hôm sau đấy, có một nhà sư thứ hai, giống hệt nhà sư ban đầu, khởi hành từ chùa trên núi xuống chùa dưới núi theo một lộ trình giống hệt lộ trình mà nhà sư ban đầu đã đi vào hôm trước. Sau cái giả sử này thì chẳng còn bài toán nào cả, chỉ còn lại một logic đời thường, hai nhà sư (giống hệt nhau ) chắc chắn phải gặp nhau. Giả sử không phải là ta thấy, giả sử còn trên cả ta thấy!
Bài toán nổi tiếng của Pascal
Cũng năm lớp 11, thầy giáo giảng cho chúng tôi về cách nhà toán học pháp Pascal chứng minh thiết diện của một mặt phẳng nghiêng với một hình trụ là hình elip. Giả thiết này đã có từ lâu, ta chỉ cần nghiêng cốc nước sẽ thấy mặt nước bên trong cốc có hình elip, nhưng trước ông thì chưa có ai chứng minh điều này chính xác theo toán học.
Và cách ông chứng minh thật không tưởng (xem hình vẽ): từ hai đầu hình trụ, ta cho hai quả cầu lọt vừa khít vào trong hình trụ (đường kính của quả cầu bằng đường kính của hai đáy hình trụ), tiếp tục đẩy chúng vào cho đến khi chạm với mặt phẳng (được biểu diễn bằng đường tô màu xanh MN), và chúng tiếp xúc với mặt phẳng tại hai điểm C1, C2 nằm trên đoạn thẳng MN (màu đỏ).
Ta nhận thấy thiết diện của mặt phẳng với hình trụ, đường tô xanh MN, là hình elip với 2 tiêu điểm C1, C2, và trục lớn MN. Thật vậy, tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường tô xanh MN đến C1 và C2 cũng bằng tổng khoảng cách từ M (hoặc N) đến C1 và C2 và bằng A1A2 (hoặc B1B2).
Không hiểu ông đã thấy gì khi dùng hai quả cầu để trợ giúp mình, hay là cái răng đau đã tặng cho ông ý tưởng độc đáo này, vì thầy còn kể, đấy là trong một ngày bị cơn đau răng hành hạ, Pascal đã lấy giả thiết này ra để chứng minh!
Những ta thấy tuyệt đẹp như vậy luôn là mơ ước của chúng tôi, nhưng nó luôn quá ít so với rất nhiều bài tập đã giải, rất nhiều định lý đã học. Vậy câu hỏi là, tại sao ta không thấy, những người khác thấy như thế nào, phải tìm những ta thấy cho riêng mình – những tôi thấy ở đâu,…?
Tại sao ta không thấy
Quay trở lại với bài toán nâng cao lớp 5, rõ ràng người ra đề đã chủ ý cài bẫy, hướng ta đi theo một con đường phức tạp để giải bài toán. Nhưng cái bẫy này rất tuyệt, các sự kiện (sự đi đi về về của người liên lạc) cứ xoắn xuýt vào nhau, rất giống với những bộn bề thường nhật, cuốn trôi chúng ta, làm chúng ta quên mất những điều đơn giản nhất. Dừng lại một chút để suy nghĩ, sẽ dễ thấy khi đã biết vận tốc di chuyển thì cái duy nhất ta cần để tính quãng đường là thời gian di chuyển. Nhưng thường thì chúng ta sẽ bị lôi vào cái bẫy dành sẵn cho mình
Về bài thi toán quốc tế năm 1979 thì không một thí sinh nào khác nhìn thấy cái "Lê Bá Khánh Trình thấy". Có lẽ thói quen phải giải quyết những bài toán phức tạp cũng như áp lực phải tải một lượng lớn kiến thức cần thiết cho các kỳ thi đã không cho họ có một cái nhìn “đơn giản”. Đến chính người ra đề còn không thấy! Hồi đó tôi có nghe kể, chỉ là nghe kể thôi , bài toán này xuất phát từ bài toán hình học không gian, nhưng người ra đề đã giản lược để trở thành hình học phẳng, có lẽ vì vậy mà ông ta vẫn tư duy theo lối cũ, và không thấy hai điểm chuyển động với cùng một vận tốc góc, phát hiện dẫn đến lời giải độc đáo cho bài toán.
Về nhà sư, khi đã nghe lời giải bài toán ta có cảm giác nó quá đơn giản! Nhưng thực sự không hề như vậy, mối liên kết giữa hai sự việc (đi và về) là quá rời rạc, đành rằng chúng diễn ra trên cùng một không gian (con đường), nhưng về thời gian thì gần như chẳng liên quan, chúng xảy ra trong hai ngày khác nhau. Có những định kiến đã ăn sâu vào suy nghĩ của ta và ta không bao giờ có thể thay đổi, thời gian không quay trở lại! Nhưng nếu ta vượt qua được định kiến đó, và giả sử, chỉ giả sử thôi, ngày hôm nay sẽ trở lại vào ngày mai!, khi đó vấn đề sẽ được giải quyết, đơn giản đến không ngờ.
Vậy là không phải chúng ta không có năng lực để thấy, cũng không phải là không có cơ hội, chúng ta không thấy là vì bị mắc kẹt vào những cái bẫy (theo nghĩa rộng ), những định kiến, những chân lý “tuyệt đối đúng”, mắc kẹt vào chính khối kiến thức mà ta đã có. Tôi có nhớ một câu nói, đại ý là: kiến thức là kết quả của quá trình học hỏi, nhưng cũng là vật cản, ngăn ta tiến xa hơn.
Những người khác thấy như thế nào
Với bài toán của Pascal, đúng là lời giải như từ trên trời rơi xuống, nhưng đó chỉ là cảm giác của chúng ta, chúng ta bị choáng ngợp bởi lời giải quá đẹp này. Với Pascal thì ý tưởng này không nảy sinh từ hư không. Có một bài toán hình học phẳng có lẽ đã là gợi ý cho ông (xem hình vẽ): với hai đường tròn tâm O1 , O2 không giao nhau ta vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài A1A2 và B1B2 , sau đó vẽ tiếp tuyến chung trong MN, giao A1A2 và B1B2 tại M và N, và tiếp xúc với hai đường tròn tại C1 , C2 . Khi đó dễ thấy MC1 + MC2 = MA1 + MA2 = A1A2 = NC1 + NC2 = NB1 + NB2 = B1B2 , tức là C1 , C2 và MN có thể là hai tiêu điểm và trục lớn của một đường elip.
Và nếu hai đường tròn O1, O2 có cùng bán kính thì hai tiếp tuyến A1A2, B1B2 song song với nhau và cách đều O1O2. Khi đó qua phép quay quanh trục O1O2 , hai đường tròn sẽ vẽ nên hai mặt cầu tâm O1, O2 , còn A1A2 và B1B2 sẽ vẽ nên mặt xung quanh của hình trụ, tiếp xúc với hai mặt cầu theo hai đường tròn tô màu tím A1B1 và A2B2 (xem hình phần trên). Với MN, ta sẽ không quay nó quanh trục O1O2 nữa mà coi nó như mặt cắt đứng của mặt phẳng giao với hình trụ bởi thiết diện MN tô xanh. Ta thấy các đẳng thức MC1 + MC2 = A1A2 = NC1 + NC2 = B1B2 vẫn còn nguyên, và với bất kỳ điểm K nào trên thiết diện MN tô xanh thì KC1 và KC2 lần lượt là tiếp tuyến của các mặt cầu O1 , O2 và đường thẳng K1K2 đi qua K song song với A1A2 và B1B2 (K1 , K2 lần lượt nằm trên hai đường tô màu tím A1B1 và A2B2 ) cũng là tiếp tuyến của hai hình cầu. Khi đó dễ thấy KC1 + KC2 = K1K2 = A1A2 , ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tương tự ta có: thiết diện của một mặt phẳng nghiêng với một hình nón tròn xoay (mặt phẳng không đi qua đỉnh hình nón và không song song với đường sinh) cũng là hình elip. Có thể thấy, lời giải bài toán không đến từ hành tinh khác, nhưng nó vẫn rất đẹp, có lẽ là cả vì cách trình bày lời giải, giống như cách cấu tứ trong văn chương, hai tiêu điểm được tìm ra bởi hai quả cầu một cách quá bất ngờ!
. Tôi lấy que tính thêm đấy bó lại với 9 que đã đếm thành 1 bó rồi đưa cho nó, 1 bó, 2 bó, và nói 2 bó thì gọi là 20. Tôi bảo nó đếm lại số que tính, nó mở ra đếm lại rồi đưa tôi 2 bó, nói 20. Tôi hỏi có cách nào đếm nhanh hơn không, mắt nó sáng lên rồi đếm 1 bó, 2 bó, là 20 
